Лекции по выпуклому и многозначному анализу

Арам Владимирович Арутюнов

Серия: Классический учебник МГУ

Настоящий учебник состоит из двух частей, обе они относятся к прикладному разделу функционального анализа. Первая часть посвящена выпуклому анализу, вторая — многозначному анализу. Приложения изложенных в книге тем возможны к теории экстремальных задач, теории управления, математической экономике, теории игр и т. д. Условно лекции рассчитаны на два семестра. Часть, посвященная выпуклому анализу, включает такие разделы, как: свойства выпуклых множеств, их внутренность и относительная внутренность, граница, теория отделимости, аффинная оболочка множеств и барицентрические координаты, а также смежные вопросы. Рассматриваются свойства выпуклых функций: их замкнутость, ограниченность, непрерывность, липшицевость, дифференцируемость и субдифференцируемость, критерии выпуклости, сопряженные и опорные функции. В приложении рассматриваются выпуклые конусы как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах, задачи линейного программирования и т. д.

Во второй части исследуются следующие вопросы: метрика Хаусдорфа и ее простейшие свойства, полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения, измеримые многозначные отображения и их селекторы, теорема Майкла о непрерывных селекторах, а также специальные селекторы многозначных отображений. Обсуждаются дифференциальные включения, а также свойства неподвижных точек и, что важно, свойства точек совпадения однозначных и многозначных отображений и их устойчивость.