Динамические системы и интегралы по траекториям. Общий метод анализа систем на основе подхода Фейнмана к квантовой механике

Владимир Николаевич Никитин, Николай Владимирович Никитин, Сергей Иванович Блинников

Общий метод анализа систем на основе подхода Фейнмана к квантовой механике. Под динамической системой понимается объект или математическая модель объекта, для которого задано начальное состояние и уравнения динамики, позволяющие определить дальнейшее изменение состояния объекта. Класс таких моделей достаточно широк и включает в себя детерминированные и стохастические системы, которые подразделяются на непрерывные и дискретные по времени и пространству. Уравнения классической и квантовой механики, электродинамики, динамики сплошных сред, как и большинство решаемых физикой задач, а также поведение систем под действием случайных возмущений относятся к динамическим системам. В книге рассмотрен общий метод анализа динамических систем на основе идеи лауреата Нобелевской премии Р. Фейнмана, изложенной в книге «Квантовая механика и интегралы по траекториям». При этом используются такие основные понятия, как начальное и конечное состояния и пространство состояний объекта, оператор эволюции, а также множество возможных (виртуальных) траекторий между начальным и конечным состояниями. Базовым считается принцип, что объект (система) не исчезает бесследно, то есть не может пропасть в начальный и возникнуть в конечный моменты времени. В любой момент времени система может быть обнаружена в одном из возможных состояний. В книге наряду с интерпретацией известных теоретических данных, изложенных в первых трех главах, приведены новые результаты, полученные на основе траекторного подхода.

В четвертой и пятой главах развит приближенный метод вычисления спектров собственных значений уравнений Шрёдингера и Фоккера-Планка, основанный на аппарате интегралов по траекториям. В шестой главе рассматривается степень устойчивости нелинейных динамических систем. Используется понятие квазипотенциала между начальным и конечным состояниями. Квазипотенциал определяется как минимальное значение функционала действия, то есть характеризует минимальное внешнее воздействие, которое необходимо приложить к системе для перехода из начального состояния в конечное. При этом доказывается теорема о том, что квазипотенциал при условии положительной определенности представляет собой функцию Ляпунова. Книга предназначена для тех, кого интересуют законы поведения и устройство окружающего нас мира. Она может быть полезна для студентов, магистрантов и аспирантов, обучающихся по соответствующим специальностям, а также для ученых и специалистов-практиков, работающих в наукоемких областях.